Considere un plano cualquiera en el espacio \(\mathbb{R}^3,\) el cual contiene los puntos \(P\left(x_1,y_1,z_1\right)\) y \(Q(x,y,z),\) donde además existe un vector \(\mathbf{\vec{n}}=\left< a,b,c\right>\) que es normal al plano. Semejante a como se hizo para deducir la ecuación de una recta, al considerar el plano como el conjunto de puntos tales que el vector \(\mathbf{\vec{PQ}}\) es ortogonal al vector \(\mathbf{\vec{n}}\), de la definición del producto escalar para vectores ortogonales \(\mathbf{\vec{n}}\cdot\mathbf{\vec{PQ}}=0\) se obtiene,
\(\vec{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{\vec{PQ}}=a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\)
la cual conduce a la siguiente afirmación.
Forma canónica o estándar de la ecuación de un plano.
Sea \(\varphi\) un plano cualquiera en \(\mathbb{R}^3\) que contiene el punto \(P\left(x_1,y_1,z_1\right)\) donde \(\mathbf{\vec{n}}=\left< a,b,c\right>\) es un vector normal a \(\varphi,\) entonces la ecuación canónica del plano \(\varphi\) está dada por,
$$~~~~~~~~~~~~~~~~~\varphi:a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$$
Desarrollando términos y simplificando se obtiene la forma general para el plano, $$\varphi:ax+by+cz+d=0$$
Donde se ha de notar que si un vector \(\mathbf{\vec{n}}=\left< a,b,c\right>\) es normal al plano, también lo es el vector \(\mathbf{\vec{n}}_1=t\left< a,d,c\right>\) así que en aquellos casos en que es posible simplificar el vector normal antes de comenzar a realizar los cálculos, conviene hacerlo.
Forma paramétrica de un plano.
La ecuación de un plano puede considerarse como el conjunto de todos los puntos del espacio que cumple la condición \(P\left(s,t\right)=\mathbf{P}_0+s\mathbf{\vec{u}}+t\mathbf{\vec{v}}\) para \(\mathbf{P}_0\) el vector de posición de algún punto contenido en el plano y los vectores \(\mathbf{\vec{u}}\) y \(\mathbf{\vec{v}}\) dos vectores cualquiera no paralelos del plano.
Ver Ejercicio I Ej4.
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Plano dado por un punto y su vector normal. Determinar la ecuación general del plano que contiene al punto \(P\left(2,\ 3,\ 5\right)\) y tiene por vector normal a \( \mathbf{\vec{n}}=\left< 4,6,8\right>.\)
Solución: se debe escribir la forma \(ax+by+cz+d=0\) partiendo de la ecuación canónica.
\begin{align}
&a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\\
&4\left(x-2\right)+6\left(y-3\right)+8\left(z-5\right)=0\\
&4x-8+6y-18+8z-40=0\\
&4x+6y+8z-66=0\\
&2x+3y+4z-33=0\end{align}
Se ha de notar que si desde el inicio se simplifica el vector \( \mathbf{\vec{n}}=\left< 4,6,8\right>\) dividiendo por dos cada componente, se obtiene \(\mathbf{\vec{n}}_1=\left< 2,3,4\right>\) lo cual produce
\begin{align}
&a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\\
&2\left(x-2\right)+3\left(y-3\right)+4\left(z-5\right)=0\\
&2x-4+3y-9+4z-20=0\\
&2x+3y+4z-33=0\end{align}
Que es el mismo resultado, con menor esfuerzo.
Plano que contiene tres puntos. Determinar la ecuación general del plano que contiene los puntos \(P\left(1,\ 1,\ 1\right);~ Q\left(2,\ 0,\ 4\right)\) y \(R\left(-3,\ 2,-\ 5\right).\)
Solución: sea \(a(x-1)+b(y-1)+c(z-1)=0\) el plano buscado, para determinar \(\mathbf{\vec{n}}=\left< a,b,c\right>\) de la definición de producto vectorial (producto cruz) notese que el vector \(\mathbf{\vec{n}}=\mathbf{\vec{u}}\times\mathbf{\vec{v}}\) es normal cualesquiera dos vectores \(\mathbf{\vec{u}}\) y \(\mathbf{\vec{v}}\) que estén en el plano, dos vectores contenidos en el plano son,
\begin{align}
&\mathbf{\vec{u}}=\left< 2-1,0-1,4-1\right>=\left< 1,-1,3\right>\\
&\mathbf{\vec{v}}=\left< -3-1,2-1,-5-1\right>=\left<-4,1,-6\right>\end{align} por lo que,
\begin{align}
&\mathbf{\vec{n}}=\mathbf{\vec{u}}\times\mathbf{\vec{v}}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&-1\ \ \ &3\\-4\ \ \ \ &1&-6\ \ \ \ \\\end{matrix}\right|\\
&\mathbf{\vec{n}}=\left|\begin{matrix}-1&\ \ \ \ 3\\\ \ \ 1&-6\\\end{matrix}\right|\mathbf{i}-\left|\begin{matrix}\ \ \ 1&\ \ \ 3\\-4&-6\\\end{matrix}\right|\mathbf{j}+\left|\begin{matrix}\ \ \ 1&-1\\-4&\ \ \ \ 1\\\end{matrix}\right|\mathbf{k}\\
&\vec{\mathbf{n}}=3\mathbf{i}-6\mathbf{j}-3\mathbf{k}\end{align}
Así que para el punto \(\left(x_1,y_1,z_1\right)=\left(1,\ 1,\ 1\right)\) y el vector \(\mathbf{\vec{n}}_1=\left< 1,-2,-1\right>\) resulta la ecuación del plano,
\begin{align}
&a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\\
&1\left(x-1\right)-2\left(y-1\right)-1\left(z-1\right)=0\\
&x-1-2y+2-z+1=0\\
&x-2y-z+2=0\end{align}
Determinar la ecuación del plano que contiene al punto \(P\left(-2,5,-7\right)\) y es paralelo al plano \(yz.\)
Solución: sea \(\varphi: a\left(x+2\right)+b\left(y-5\right)+c\left(z+7\right)=0\) el plano buscado. Para determinar el vector normal \(\mathbf{\vec{n}}=\left< a,b,c\right>\) cómo el plano es paralelo al plano \(yz\), un vector cualquiera en la dirección del eje \(x\) es normal, así que, se elige \(\mathbf{\vec{n}}=\mathbf{i}=\left< 1,0,0\right>\)
\begin{align}
&\varphi:1\left(x+2\right)+0\left(y-5\right)+0\left(z+7\right)=0\\
&\varphi:\ x+2=0\end{align}
Forma paramétrica de un plano. Determinar una parametrización del plano que contiene los puntos \(\left(1,\ 1,\ 1\right); \left(2,\ 0,\ 4\right)\) y \(\left(-3,\ 2,-\ 5\right)\).
Solución: la parametrización del plano está dada por \(P\left(s,t\right)=P_0+s\mathbf{\vec{u}}+t\mathbf{\vec{v}}\). Por comodidad se elige \(P_0=\left(1,1,1\right)\), y se determinan los vectores \(\mathbf{\vec{u}}\) y \(\mathbf{\vec{v}}\) dados por,
\begin{align}
&\mathbf{\vec{u}}=\left< 2-1,0-1,4-1\right>=\left< 1,-1,3\right>\\
&\mathbf{\vec{v}}=\left<-3-1,2-1,-5-1\right>=\left<-4,1,-6\right>\\
&P\left(s,t\right)=\left< 1,1,1\right>+s\left< 1,-1,3\right>+t\left<-4,1,-6\right>\\
&P\left(s,t\right)=\left< 1+s-4t,1-s+t,1+3s-6t\right>\end{align}
La ecuación del plano \(x-2y-z+2=0\) que contiene los puntos dados fue encontrada en ejemplo Ej2.
